中3:二次関数1026(修正)


math1026.jpg


とりあえず、
3直線を
y=x       ①
y=-3x+8    ②
y=-x+ b  ③
とおく。

《気づくこと》
◆①と②は、傾き×傾き=-1より、
点Bで直行している。つまり、∠ABP=90°Type equation here.
◆点Pの座標は
x=-3X+8より
(2,2)である。
◆直角三角形APB の面積が2である。

《解法》
点Aや点Bの座標から攻めるのは躊躇されるので、
図形的突破を試みる。

math10262.jpg


③の切片(0,8)から(Qとおく)、①に垂線を下ろし、
その交点を点Hとおく。

この垂線は③と平行だから、
y=-x+8  ( ④とおく)

点Hの座標は
x=-x+8より
(4,4)である。


こうして、直角三角形QPHを作り、その中に直角三角形APBを配置することができた。
もっとおいしいのは、これらは直角二等辺三角形である。△QOHもそう。
一辺がわかれば、面積は出る。

△QPHの面積は△QOH:8×4×1/2=16の半分、8、
△APBの面積は2

△QPH:△APB
=8:2=4:1
=(2の二乗):(1の二乗)
相似比の二乗は面積比だから PH : PB=2:1

math10263.png


点P(2,2),点H(4,4)、
点Bはその中点だから(3,3)とわかる。

(3,3)を③:y=-x+ b に代入して

3=-3+b
b=6

以上、
x軸と45度を作るy=xとy軸と45度をつくるy=-xのグラフ、
それらからなる直角二等辺三角形
といったイメージからできあがっている問題でした。

(おわび) 
式の一部(赤文字)が間違っていました。修正しました。
10.27 西村







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