WP質問:平面のベクトル方程式


A(2,1,3), B(-1,2,4), C(5,2,1)の3点を通る平面がある。

(1)この平面とx軸との交点は?
(2)この平面と直線(x y z)=(2, -3, 0)+k(1, 2, 1)との交点は?



平面ベクトルの方程式を使うだけです。下線をベクトル記号のかわりに使ったよ。


(1) 方程式 OP=OAABAC

    AB=(-3,1,1) AC=(3,1,-2)を代入
すると、(x,y,z)=(2,1,3)+α(-3,1,1)+β(3,1,-2)
     x軸では、y=z=0だから、

      y=1+α+β=0  z=3+α-2β=0   x=2-3α+3β

2つの式から、α,βを求めて、三番目の式に代入すれば、X座標が出ます。


(2)
    (1)の(x,y,z)=(2,1,3)+α(-3,1,1)+β(3,1,-2)と
        (x y z)=(2,-3,0)+k(1,2,1)は、(交)点を共有するのですから、

(2,1,3)+α(-3,1,1)+β(3,1,-2)=(2,-3,0)+k(1,2,1)とします。

パラメーター群と数字群を左右に移項・整理します。
        α(-3,1,1)+β(3,1,-2)-k(1,2,1)=(2,-3,0)-(2,1,3)

これから、(1)と同様に、連立方程式をつくり、kを求めます。
               +-など、ミスしないように注意して解きます。

       kの値を直線の式に代入すれば、交点が求まります。

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